谈谈素数
素数：
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如果 $p$ 的唯⼀正因数是 $1$ 和 $p$，则⼤于 $1$ 的正整数 $p$ 称为素数。⾮质数的正整数称为合数。
- 正因数是指一个正整数除了 1 和它本身之外的所有因数。
- 换句话说，如果一个正整数能够被另外一个正整数整除，且商也是正整数，那么这个数就是另一个数的正因数。
- 例如，正因数是 6 的数有 1、2、3 和 6。因为 6 除以 1、2、3 和 6 本身都能整除，且商也是正整数。
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素数已被证明在数学的所有分⽀中都⾮常重要，⽽不仅仅是对整数及其属性的研究（即数论）。所有数学中最著名的猜想之⼀（对迄今为⽌既没有被证明也没有被证伪的定理的猜测）是黎曼猜想。其结论已被证明与整个整数中素数的分布密切相关。关于这个主题已经写了很多书。此外，⼤多数现代密码学⽅案都是基于将巨⼤的素数相乘，因为考虑到它们的乘积，很难撤销这个过程并找出两个巨⼤的素数因⼦。现在您知道了：每次您⽤信⽤卡在 iTunes 上购买歌曲时，某些计算机都会将两个⼤素数相乘！
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前⼏个素数是 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . 。。（记住，1 不符合我们的定义）。质数有多少个？他们相距多远？有模式吗？回答这样的问题可能很有趣，但也很困难（有时甚⾄是不可能的！）。在这⾥，我们将回答⼀个问题：素数是否有⽆限多个？
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（素数的⽆限性）。素数有⽆穷多个。
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“证明”：相反，假设只有有限多个素数，并按升序列出它们：$p1、p2、p3、…。。。，pk$，因此 pk 是这些素数中最⼤的。定义新的整数 $N = (p1 · p2 · p3 · · · · · pk) + 1$，$N$ ⼀定能被某个素数整除。但是，它不能被 $p1$ 或 $p2$ 或 整除。。。或 $pk$，因为这样会留下余数 $1$。
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基于我们如何定义 $N$ 。因此，$N$ 可以被不在列表中的其他素数整除。
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如果 $N$ 本身是合数（即不是素数），那么我们就发现了⼀些新的素数 $p < N$，但它不在我们可能拥有的所有素数列表中。如果 $N$ 本身是素数，那么我们有⼀个新的素数 $N > pk$，所以 $pk$ 实际上并不是最⼤的素数。不管怎样，我们保证有⼀个新的素数不会出现在给定的 $k$ 个素数列表中。因此，素数必定有⽆穷多个。
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对于这个“证据”，你怎么看？你确信吗？这感觉与我们迄今为⽌看到的其他论点有点不同，不是吗？尝试向同学解释这与上⼀节勾股定理的“证明 1”有何不同。不过，我们将揭示这⼀点：这⾥的“证明”实际上是⼀个完全正确的证明，没有引号！
⾮理性的不敬
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现在让我们讨论另⼀种类型的数字：有理数。您可能知道有理数为“分数”或“商”或“⽐率”。
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这是有理数的精确定义： 实数 $r$ 是有理数当且仅当它可以表示为两个整数之⽐ $r = \frac{a}{b}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 都是整数（且 $b \neq 0$）。
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⾮有理数的实数称为⽆理数。
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这个定义并没有表明有理数必须只有⼀个这样的表示形式。它只要求有理数⾄少有⼀个这样的表示。例如，$1.5$ 是⼀个有理数，因为 $1.5 = \frac{3}{2} = \frac{12}{8} = \frac{30}{20}$ 等等。⾮有理数的实数称为⽆理数，这就是整个定义：⾮有理数，即不存在将数字表示为整数之⽐的形式。
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你可能知道 $\sqrt{2}$ 是⼀个⽆理数，但是如何证明这样的事情呢？尝试⼀下。
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您可能已经知道的其他⽆理数包括 $e$、$\pi$、$\phi$(黄金比例，一个数值约为 1.618033988 的无理数) 和 $\sqrt{n}$ 其中 $n$ 是任何⾮完全平⽅数的正整数。
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我们可能想知道如何组合⽆理数来产⽣有理数。尝试⾃⼰回答以下问题。如果您的答案是“是”，请尝试找到⼀个例⼦，如果您的答案是“否”，请尝试解释为什么所需的情况不可能实现。
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(1) 是否存在⽆理数 $a$ 和 $b$ 使得 $a·b$ 是有理数？
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(2) 是否存在⽆理数 $a$ 和 $b$ 使得 $a+b$ 是有理数？
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(3) 是否存在⽆理数 $a$ 和 $b$ 使得 $a^b$ 为有理数？
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你找到例⼦了吗？事实证明，这三个问题的答案都是“是”！前两个不太难理解，但第三个有点棘⼿。
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在这⾥，我们将通过⼀个证明来证明第三个问题的答案是“是”。然⽽，有趣的是，我们实际上不会想出使 $a^b$ 成为有理数的确定数字 $a$ 和 $b$；我们实际上不会得出使 $a^b$ 成为有理数的确定数字 $a$ 和 $b$ 。我们将把范围缩⼩到两种可能的选择，并证明其中⼀种选择必须有效。听起来很有趣，对吧？我们来试试吧。
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证明。我们知道 $\sqrt{2}$ 是⽆理数。考虑数字 $x = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$，有两种可能性需要考虑：
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- • 如果 $x$ 是有理数，那么我们可以选择 $a = \sqrt{2}$ 且 $b = \sqrt{2}$ 并得到我们的答案。
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- 但是，如果 $x$ 是⽆理数，那么我们可以选择 $a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ 且 $b = \sqrt{2}$ 因为
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- $a^b = (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^(\sqrt{2}·\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 = 2$
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- 很明显 2 是有理数。
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你觉得这个证明怎么样？有说服⼒吗？它以明确的“是”回答了上⾯的第三个问题，但它并没有告诉我们哪⼀对 $a$、$b$ 实际上是正确的，⽽只是告诉我们其中⼀对可以⼯作。（事实证明那个 $\sqrt{2}$·$\sqrt{2}$ 也是不合理的，但这个事实需要更多的⼯作来证明。）还有很多其他具体的例⼦可以回答这个问题，尽管。你能想出任何办法吗？（提示：尝试使⽤ $log10$ 函数...）
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