初中数学知识点实数
知识要点如下：
1. 有理数一定能表示为一个有限小数或无限循环小数
- 有理数又称为比例数，因此有理数和分子分母是整数的分数是等价的。每个有理数都有一个既约分数和它对应，既约分数是指分子和分母不仅是整数，而且二者的最大公约数是1。
- 有限小数是有理数一定正确。
- 我们可以把需要证明的有理数的范围缩小到(0, 1)之间，如果在这个范围内结论成立，那么推广到全部有理数上结论也成立。
- 无限循环小数是形如$0.(r_1r_2...r_m)(a_1a_2...a_k)(a_1a_2...a_k)...$的小数，其中前面的m个小数位$r_1r_2...r_m$没有循环，循环节是$a_1a_2...a_k$。
2. 证明无限循环小数一定是有理数。首先我们任取一个无限循环小数
，从它开始循环的地方切一刀，把前面和后面的部分分开：
$$q=0.(r_1r_2...r_m)(a_1a_2...a_k)(a_1a_2...a_k)...=\frac{r_1r_2...r_m}{10^m}+\frac{1}{10^m}\times 0.(a_1a_2...a_k)(a_1a_2...a_k)...$$
因为分数/有理数的四则运算还是分数/有理数，所以为证明q是有理数，只需要证明$p=0.(a_1a_2...a_k)(a_1a_2...a_k)...$可以写成分数的形式。
我们把循环节提出来，把 $p$ 再分解一次：$p=(a_1a_2...a_k) \times f = (a_1a_2...a_k) \times 0.(00...01)(00..01)...$
后面的无限循环小数 $f$ 的循环节是连着k-1个是0，然后跟一个1，恰好满足：$f=\frac{1}{10^k-1}$。原因是： $$f \times (10^k-1)=0.(00...1)(00...1)... \times (99...9) = 0.99999...=1$$
因此我们得到： $$q=\frac{(r_1r_2...r_m)}{10^m}+\frac{1}{10^m}\times\frac{(a_1a_2...a_k)}{10^k-1}$$ 这样就证明了$q$是有理数。
3. 证明有理数一定是有限小数或者无限循环小数。
我们随便拿来一个既约真分数$q=\frac{a}{b}$。也就是分子分母互质，并且值在(0,1)之间的分数。我们要证明它一定是有限小数或者无限循环小数。
思路：
因为由上面的分析我们知道$\frac{c}{10^n-1}$是循环节为c的循环小数，我们首先试探任意有理数$q$是否一定存在循环小数的相等形式：$q=\frac{a}{b} = \frac{c}{10^n-1}$（这个等式不一定成立，但是可以启发我们）。假设这个等式成立，则：
交叉相乘，得到$a(10^n-1)=bc$。因为a、b互质，为了能让等式成立，就必须使b是$(10^n-1)$的约数。因此，只要$b$是某个连续若干个9组成的整数的约数，那么上面那个式子就一定成立。因此，我们需要尝试找一个整数n，满足b能整除$(10^n-1)$。这启发我们构造一个特殊的数列。
构造： 对任意$b$，我们定义一个数$f(m)$为连续m个9组成的整数除以b的余数：$f(m)=999...99 \mod b$，如果有一个$f(m)=0$，那么咱们的目的就达到了。
同余除法有一点点复杂，经过一定计算我们可以得到一个递推公式：$f(m+1) = 10 \times f(m)+9 \mod b$ $f(m+2)=100 \times f(m) +99 \mod b $ 继续推导可以得到一个一般递推公式：$f(m+k)=10^k \times f(m) + (10^k-1) \mod b$
因为一个数除以b的余数只能是0到b-1之间的b个整数，一共只b种可能，因此不断把k增大，一定有某两个f的值相同了。咱们不妨就假设$f(m)=f(m+k)$，这说明： $f(m+k)-f(m) \mod b=(10^k-1)(f(m)+1) \mod b=0$ 因此$b$是$(10^k-1)(f(m)+1) $的约数。
虽然这并不能说$b$能整除其中一个（除非$b$是素数），但是可以说$b$能分解成两部分，各整除其中一部分：我们令$b=uv$，满足$u$整除$10^k-1$，$v$整除$f(m)+1$。前者可得整数$x$满足$ux=10^k-1$；对于后者，我们首先由$f(m)=10^m-1 \mod b$的定义得知$10^m-1=rb+f(m)$，其中$r$是某个整数，从而两边加1得$10^m=rb+f(m)+1$，进而由$v$既整除$b$又整除$f(m)+1$得到$v$能够整除$10^m$，得知存在另一个整数$y$满足$vy=10^m$。
因此我们得到： $$\frac{a}{b}=a \times \frac{1}{v} \times \frac{1}{u}=a \times \frac{y}{10^m} \times \frac{x}{10^k-1}= \frac{1}{10^m} \times \frac{axy}{10^k-1}$$ 咱们令$axy=(10^k-1)q+p,0 \leq p<10^k-1$
则可以得到： $$\frac{a}{b}=\frac{q}{10^m}+\frac{1}{10^m} \times \frac{p}{10^k-1}$$ 和上一节的结论一比较，就可以知道这一定是一个有限小数或循环小数。由于分数a、b的选择是任意的，证明完毕。