数学是⼀⻔语⾔

界对定义的争论：

1. 商定的惯例，以设计有意义的单词、短语、句⼦、段落等；从本质上讲，英语与任何语⾔⼀样，是⼀种通过符号集合和管理这些符号的规则集合来传达含义的⽅式。同样的概念也适⽤于数学语⾔：有⼀组符号和⼀组应⽤于这些符号的规则。

2. ⼀个区别是，我们在数学中使⽤的符号集合可能相当⼤，具体取决于当前讨论的数学分⽀。数学结构多功能性的⼀个重要部分是我们总是可以创建和定义要使⽤的新符号。通常，这样做甚⾄是为了使内容更短、更易于阅读。

3. 数学与其他语⾔之间的另⼀个主要区别是，我们仔细选择如何定义我们的单词及其代表的概念。通常，数学家的⼤多数争论都围绕定义展开。这可能会让你感到惊讶；也许认为数学家就证明和猜想进⾏辩论会更有意义，或者数学家甚⾄会辩论这是⼀个新颖的想法！为新发现的概念选择正确的定义和术语是数学发现和阐述的重要组成部分，因为它有助于发现者/发明者向其他感兴趣的⼈解释他/她的想法。（没有这个过程，数学就没有进步，只是⼀群孤⽴的⼈试图⾃⼰发现真理。）

4. ⼝语的情况与此类似，但似乎没有那么极端。例如，如果你对你的朋友说，“我饿了”，或者“我感觉有点饿了”，或者“天哪，我饿了”，他们听到的基本上是相同的信息，并且会做出粗略的回应每种情况都以相同的⽅式进⾏。然⽽，在数学中，我们的定义要精确得多，并且不包含⼝语允许的细微差别类型。当然，这两种哲学都有优点和缺点，但在数学中，我们尽可能追求精确，因此我们希望我们的定义准确且坚定不移。尽管如此，我们可以控制这些定义是什么！这就是为什么数学界对定义的争论如此普遍。

正确选择定义：

1. 作为⼀个具体的例⼦，让我们回到上⼀⼩节中看到的素数的定义。它定义：如果 $p$ 的唯⼀正因数是 $1$ 和 $p$，则⼤于 $1$ 的正整数 $p$ 称为素数。⾮质数的正整数称为合数。这个定义似乎没有什么问题，不是吗？也许你会⽤不同的措辞或更简洁或使⽤不同的可变字⺟或其他什么，但最终的信息是相同的：素数是具有特定特征的特定类型的数字。

2. ⽆论您选择写出该特定类型的数字是什么（⼤于 $1$ 的正整数）以及该属性是什么（除了它本身和 $1$ 之外没有正因数），您都会获得等效的定义。

3. 不过，这个定义背后存在⼀些微妙的问题：为什么它是那种特定类型的数字？为什么我们如此关⼼这个特殊的属性——只能被 1 和它本身整除？如果定义略有不同怎么办？事情真的会有那么⼤的改变吗？我们将⽤另⼀个问题来解决这些问题：您如何看待以下素数的替代定义。

4. 如果 $p$ 的唯⼀正约数是 $1$ 和 $p$，则⼩于 $-1$ 或⼤于 $1$ 的整数 $p$ 称为素数。

5. 你注意到细微的差别了吗？所有符合之前“素数”定义的数字仍然符合这个定义，但现在负数也适⽤！具体来说，给定任何数字 $p$ 在旧定义下是素数，$−p$ 现在在新定义下是素数。这是⼀个合理的想法吗？负素数有什么问题？

6. 素数的第三个定义怎么样？如果 $p$ 的唯⼀正因数是 $1$ 和 $p$，则正整数 $p$ 称为素数。（请记住，按照惯例，$0$ 既不是正数也不是负数。）现在，负数超出范围，但 $1$ 符合此定义。这合理吗？$1$ 的唯⼀正因数是 $1$ 和 。。。本身，对吗？

7. 这就是可能引发争论的地⽅：也许您不介意让 $1$ 成为素数，但您的朋友强烈反对。好吧，如果没有确凿的理由，就没有办法说你们中的任何⼀个都是错的，真的；你只是对术语做了不同的选择，它们都没有改变 $1$ 的唯⼀正因数是 $1$ 和它本身的固有属性。作为⼀个类似的想法，请考虑⼀下：⽆论您称它们为凉鞋、⼈字拖还是⼈字拖，事实仍然是这些类型的鞋⼦适合在海滩上穿。

8. 然⽽，考虑到历史的后⻅之明和新的愿望，通常⼀个特定的定义被证明是更合适的。将来，我们将研究素数分解，这是⼀种将每个（正）整数写为仅素数的乘积的⽅法。例如，$15 = 3 ·5$ 和 $12 = 2 ·2 ·3 = 2^2 ·3$ 和 $142857 = 33 · 11 · 13 · 37$ 都是素因数分解。

9. 这些因式分解也有⼀个特殊的属性：⼀般来说，正整数的素因式分解是唯⼀的！也就是说，只有⼀种⽅法可以将正整数写为素数的乘积（因为我们将因⼦的不同排序视为同⼀事物，因此 $105 = 3 · 5 · 7$ 和 $105 = 7 · 3 · 5$ 是相同的因式分解）。我们将使⽤上⾯给出的第⼀个定义严格证明这⼀点。如果我们使⽤第⼆个定义或第三个定义怎么办？这种独特性还成⽴吗？您为什么认为这种独特性如此重要？最终，这⾥的教训是: 定义应该由逻辑和实⽤性驱动，这可能会随着时间的推移⽽改变并引发⼀些争论。

数学家的学习模式：

1. 建⽴清晰准确的定义的另⼀个好处是你作为思想家获得的知识和理解；建⽴逻辑基础对将来会有帮助。⼈类学习的⼀个主要⽅⾯涉及通过⽇常经验识别模式，然后将想法、概念、单词和事件与这些模式联系起来。然后，⼈们可以使⽤这些模式来预测抽象思想、概念和事件并对其进⾏理论化。

2. 例如，研究表明，⼈类婴⼉最初缺乏物体持久性的概念，但随着时间的推移逐渐发展。如果你给孩⼦看⼀个他们微笑并喜欢的彩⾊玩具，然后把它藏在纸板箱下⾯，孩⼦不太明⽩玩具仍然存在，只是看不⻅了。

3. 他/她会表现得好像该物体不再存在⼀样。然⽽，在某些时候，我们知道这不是真的，我们视觉范围之外的物体仍然存在。这究竟是如何发⽣的？好吧，也许我们认识到许多此类事件的模式，其中⼀个物体“消失”，然后我们⼜找到它。

4. 更好的例⼦可以在⾃然科学中找到，它们说明了模式识别和抽象思维的另⼀个⽅⾯，这是极其重要的，特别是在数学和科学领域。⼈们可以想象，尼安德特⼈不知何故知道，每当他们拿起⼀块岩⽯并将其保持在⼀定距离，然后松开时，岩⽯就会掉到地上。这种情况可能⼀次⼜⼀次地发⽣，所以他们“明⽩”这种现象是⾃然的必然产物。在发⽣⾜够多的事件之后，⼈们可能会明⽩这种情况总会发⽣，或者⾄少，任何没有发⽣的情况都会引起极⼤的困惑和恐惧。（正是这种类型的情绪反应可能有助于解释罕⻅但强烈的事件是如何发⽣的，例如：

5. 这些对事件的观察都没有使这些史前⼈类更接近理解为什么岩⽯总是会掉落到地⾯，或者能够解释为什么它每次都必然发⽣。⼏千年后，⼈们才开始思考这种现象为何以及如何发⽣，甚⾄更⻓时间之后，艾萨克·⽜顿最终提出了⼀个试图解释重⼒⾏为的模型（最终为此类现象命名）。有⼈说，即使是现在，我们仍然没有弄清楚它到底是如何运作的。（如果你好奇的话，可以上⽹⾕歌“循环量⼦引⼒”并尝试理解这⼀点）。

6. 正是这种思维上的抽象⻜跃——从对某种模式的观察到对该模式的认识论理解——从最好的意义上来说，是⼀个真正具有好奇⼼和智慧的思想家、⼀个真正的科学家的特征。您认为谁是更好的昆⾍学家：贪婪的读者，他已经记住并可以列出所有当前已知的甲⾍种类世界，还是已经检查了多种物种并可以获取新标本并将其分类为甲⾍或⾮甲⾍的实验室科学家？这在某种程度上是⼀个引导性问题，但要点是：理解定义及其背后的动机⽐简单地了解⼀堆满⾜某个定义的实例要 有益得多。

7. 可以说，这在数学中更为重要。你能想象⼀个数学家不知道素数是什么，但只能凭记忆列出前 100 个素数并对此感到满意吗？当然不是！数学研究的美妙之处、多功能性和吸引⼒部分在于我们检查模式和现象，然后选择如何做出与这些模式相关的适当定义。然后，我们利⽤对这些模式的新理解来对其他模式和现象做出严格精确的预测。彻底理解定义或概念可以提⾼预测能⼒，并且⽐仅仅了解该定义/概念的示例更有效。

8. 数学的另⼀个有趣的⽅⾯是，尽管它本身就是⼀种语⾔，但我们依赖外部语⾔来传达我们所拥有的数学思想和⻅解。尝试在不使⽤任何单词的情况下重写我们之前看过的任何定义和证明。这很难，不是吗？因此，我们希望⽤来传达数学思想的书⾯语⾔遵循与我们所写的数学“句⼦”相同的标准：我们希望它们精确、合乎逻辑且清晰。

9. 现在，为这三个词确定⼀个精确、逻辑和清晰的定义本身就是⼀项艰巨的任务。然⽽，我们都同意，理想的证明是：

   • 精确：任何单独的陈述都不应是不真实的或可以通过多种⽅式解释⽽导致真相值得商榷；
   • 逻辑性：每⼀步都应遵循先前的步骤，并有适当的动机和解释；
   • 清晰：步骤应该⽤正确的英语语法和⽤法连接和描述，帮助读者了解发⽣了什么。

10. 让我们检查⼀些⽆视这些标准并且在某种程度上不符合我们迄今为⽌的证明定义的“证明” 。

11. ⾸先，我们有⼀个 $1=2$ 的“证明”，所以我们知道这个肯定有问题。你能找到错误吗？它违反了哪个标准？精确、逻辑还是清晰？

12. 假设我们有两个实数 $x$ 和 $y$，并考虑以下等式链： $$x = y$$ $$x^2 = xy ：两边乘以 x$$ $$x^2 − y^2 = xy − y^2 ：两边减去 y2$$ $$(x+ y)(x− y) = y(x− y) ：两边均因式分解$$ $$x+ y = y ：从两边取消 (x− y)$$ $$y + y = y ：记住第⼀⾏中的 x = y$$ $$2y = y$$ $$2 = 1 ：两边除以 y$$ 这⾥的问题是精度。对第四⾏进⾏因式分解后，除以公因数 $(x − y)$ 即可得到第五⾏，这似乎既⽅便⼜明智；然⽽，第⼀⾏告诉我们 $x = y$，所以 $x−y = 0$，并且不允许除以零！使⽤变量 $x$ 和 $y$ 只是⼀种让你失去踪迹并掩盖除以零的⽅法。（说到这⾥，为什么不能除以零？你能想出⼀个合理的解释吗？从乘法的⻆度思考⼀下。）

13. 这是类似“事实”的另⼀个证明，即 $0 = 36$： 考虑⽅程 $x^2 + y^2 = 25$。重新排列以隔离 $x$ 告诉我们 $x = \sqrt{25−y^2}$ 然后两边都加 $3$ 并平⽅ $(x+3)^2 = (3+\sqrt{25−y^2})^2$

    请注意，$x = −3$ 和 $y = 4$ 是原始⽅程的解，因此最终⽅程也应该为真。代⼊ $x$ 和 $y$ 的这些值可以告诉我们

    $0 = (−3 + 3)^2 = ( 3 + \sqrt{25−16})^2 = (3 + 3)^2 = 36$

    因此，0 = 36。

    这⾥发⽣了什么？你能发现不合逻辑的步骤吗？如果我们使⽤变量的具体值重写证明的步骤，也许会有所帮助。

    我们最后选择的 x 和 y：

    $$(−3)^2 + 4^2 = 25 $$ $$−3 = \sqrt{25} − 4^2$$ $$(−3 + 3)^2 = (3+\sqrt{25} − 4^2 )^2$$ $$0 = 36 $$

    现在很明显了，不是吗？对⽅程两边应⽤平⽅根运算存在⼀个问题，它取决于 $(−x)2 = x2$ 这⼀事实。

    当我们求解 $z^2 = x^2$ 这样的⽅程时，我们必须记住该⽅程有两个根：$z = −x$ 和 $z = x$。因此，从⽅程开始并对两边进⾏平⽅是⼀个完全合乎逻辑的步骤（所得⽅程的真值来⾃于原始⽅程的真值），但反之亦然是⼀个不合逻辑的步骤（平⽅⽅程的真值并不等于原⽅程的真值）。必然告诉我们平⽅根⽅程也成⽴）。这是⼀个带有条件语句或逻辑含义的问题，我们将在稍后详细讨论这个想法。

    现在，我们可以⽤下⾯的代码来总结这个想法：

    如果 $a = b$，则 $a^2 = b^2$，但如果 $a^2 = b^2$，则 $a = b$ 或 $a = −b$。

    这说明了为什么从 $x^2 + y^2 = 25$ 移动到

    上⾯“证明”中的 $x = \sqrt{25} − y^2$ 是⼀个不合逻辑的步骤：当有两个可能的选项时，我们⽴即假设平⽅根的⼀个特定选择。如果我们选择负平⽅根，会发⽣什么？尝试⽤第⼆步重写证明 $-x = \sqrt{25} − y^2$, 相反，然后最后使 x 和 y 的值相同。会发⽣什么？如果你⽤ $x = 3$ 和 $y = −4$ 代替呢？或者 $x = −5$ 且 $y = 0$？你能描述⼀下如何确定何时应该使⽤正根 $x$ 以及何时应该使⽤负根 $-x$ ？

    由于这个词刚刚出现，我们先提⼀下上⾯句⼦中 $or$ 的使⽤。当我们说“$a = b$ 或 $a = -b$”时，我们的意思是这两个陈述中⾄少有⼀个必须为真，甚⾄可能两者都为真。现在，如果 $a \neq 0$ 且 $b \neq 0$，则只有⼀个结论语句为真；也就是说，在这种情况下，只有⼀个根（正或负）是正确的，⽽不是两者都是正确的。但是，如果 $b = 0$，那么两个结论性陈述都说同样的事情，$a = 0$，因此规定 $or$ 意味着只有⼀个陈述可以为真并且不允许它们都为真，这是不合逻辑的。真实，同时。在其他情况下，这种区别会产⽣更显着的差异。

    例如，如果您在餐厅点了⼀份三明治，服务员问：“您想要薯条还是⼟⾖沙拉？”，据了解，您可以选择其中⼀个选项，但不能同时选择两者。这是互斥或⾃的⼀个例⼦。

    它使您⽆法选择这两个选项。或者，如果你忘记带书写⼯具去课堂，正在寻找任何旧的记笔记⽅式，并问你的朋友，“你有我可以借⽤的铅笔或钢笔吗？”，可以理解，你确实没有关⼼提供了两个选项中的哪⼀个，只要⾄少有⼀个可⽤。也许你的朋友两者都有，⽽且其中任何⼀个都可以。这是包含或的示例，并且这是所有数学示例中假定的解释。

不清楚的论点

1. 最后两个糟糕的“证明”由于精度和逻辑正确性问题⽽失败。我们要求良好证明的第三个条件是清晰：我们希望⽂字能够解释证明者在每个步骤中完成的⼯作以及为什么该成就是相关的。换句话说，我们不希望读者在任何时候停下来问：“这句话是什么意思？” 或“那是从哪⾥来的？” 或因困惑⽽产⽣的类似问题。如果有帮助的话，考虑写⼀个证明，向你班上的朋友、将要阅读你作业的评分者或智⼒相似的家庭成员解释它。重读您⾃⼰的写作，并尝试预测可能出现的任何问题或可能要求您进⾏的任何澄清，然后通过重写来解决这些问题。

2. 证明有多种⽅式可能会失败这个条件并显得不明确。其⼀，单词和句⼦可能⽆法正确解释证明的步骤和动机，这实际上可能是因为单词太多（使读者负担过重⽽模糊了证明）或因为单词太少（没有给出证明）读者有⾜够的信息来处理）或者因为所选的词语令⼈困惑（没有正确解释证明）。这些是证明语⾔的问题。

3. 从数学上讲，就清晰度⽽⾔，可能会出现许多问题。也许校对者突然引⼊了⼀个变量，但没有说明它是什么类型的数字（整数、实数等），或者跳过了算术/代数的⼏个步骤，或者使⽤了新的符号，但没有定义它的含义⾸先或 . 。。这些⾏为在技术上都没有错误或不合逻辑，但它们肯定会给读者带来困惑。你能想到任何其他⽅式证明证明不明确吗？尝试考虑⼀种基于语⾔的⽅法和⼀种基于数学的⽅法。

4. 让我们陈述⼀个关于多项式函数的简单事实，然后检查关于该事实的“证明”。

   仔细阅读论证并尝试找出⼀些不清楚的句⼦或数学步骤。事实：考虑多项式函数 $f(x) = x^4 − 8x^2 + 16$。对于任何 $x$ 值，该函数都满⾜ $f(x) ≥ 0$。

   “证明”：⽆论 $x$ 的值是多少，我们代⼊ $x$ 的函数 $f$ 中，我们都可以写出该函数通过多项式因式分解得出的值，像这样： $f(x) = x^4 − 8x^2 + 16 = (x− 2)^2(x+ 2)^2$

   现在，任何数字 $z$ 必须⼩于 $-2$，或⼤于 $2$，或严格介于 $-2$ 和 $2$ 之间，或等于其中之⼀。当 $z > 2$ 时，$z − 2$ 和 $z + 2$ 都⼤于 0，因此 $f(z) > 0$。当 $z < −2$ 时，两项均为负数，负平⽅为正数，因此 $f(z) > 0$ 。 当 $−2 < x < 2$ 时，会发⽣类似的情况，⽽当 $x = 2$ 或 $x = −2$ 时，其中⼀项为 $0$，因此 $f = 0$。因此，我们试图证明的必须是正确的。

   这个证明有什么可批评的呢？⾸先，它正确吗？准确吗？符合逻辑吗？清除？哪⾥不清楚？试着找出那些稍微不清楚的陈述，⽆论是语⾔上的还是数学上的，并尝试适当地修改它们。在不指出任何个别错误的情况下，我们在下⾯提供了上述事实的更好、更清晰的证据。

   我们⾸先对函数 $f(x)$ 进⾏因式分解，将其视为变量 $x^2$ 中的⼆次函数 $$f(x) = (x^2)^2 − 8x^2 + 16 = (x^2 − 4)^2$$ 接下来，我们可以因式分解 $x^2− 4 = (x+ 2)(x− 2)$ 并将原始函数重写为 $$f(x) = ((x+ 2)(x− 2))^2 = (x+ 2)^2(x− 2)^2$$

   现在，对于任何实数 $x$，$(x + 2)^2 ≥ 0$ 且 $(x − 2)^2 ≥ 0$，因为平⽅数始终为⾮负数。两个⾮负项的乘积也是⾮负的，因此对于任何 $x$ 值，$f(x) = (x+ 2)^2(x− 2)^2 ≥ 0$。

   第⼀个“证明”和第⼆个“证明”有什么区别？你重写的证明也像第⼆个吗？

   对第⼀个“证明”的批评之⼀是它没有完全解释 $−2 < x < 2$ 的情况；相反，它只是说发⽣了“类似”的事情，并没有实际执⾏任何细节。这是数学中的常⻅情况（证明的某些步骤“留给读者”），这是⼀种⽅便的技术，有时可以避免繁琐的算术/代数，并使阅读证明更容易、更快、更愉快。但是，应谨慎使⽤。作为校对作者，确保这些步骤确实有效⾮常重要，即使您不打算在校对中呈现它们；您应该考虑向读者提供简短的摘要或提示，说明这些步骤实际上是如何运作的。

   在这种特殊情况下，完全跳过了因式分解的实际步骤，并且仅顺便提及了对 $−2 < x < 2$ 情况的分析，但这些都是证明的重要组成部分！⽆论如何，这是⼀个如此简短的证明，显示这些步骤并不代表在简洁性或清晰度⽅⾯做出了巨⼤的牺牲。这再次提出了校样作为⼀⻔艺术和⼀⻔科学的观点。

   选择何时将⼀些细节验证留给读者可能很棘⼿。在这种特殊情况下，显示所有步骤很重要。

   尽管如此，我们在这⾥展示的第⼆个证明要清楚得多。⽽且，完全避免了第⼀个“证明”中出现的案例分析！第⼀个“证明”中的⼀个案例存在清晰度问题，但我们没有简单地在修改后的版本中阐述细节，⽽是选择完全放弃该技术并使⽤更短、更直接的证明。现在，这并不是说第⼀个证明的技术是错误的。如果我们填补第⼀个“证明”论证中的空⽩，我们就会得到⼀个完全正确的证明。然⽽，该技术中的⼀些步骤是多余的。请注意，$−2 < x < 2$ 和 $x > 2$ 的情况在某种意义上实际上是相同的：在这两种情况下，因⼦都满⾜$(x − 2)^2 > 0$ 和 $(x + 2)^2 > 0$。事实上，第⼀种情况确实如此，其中 $x < −2$，还有！那么，当相同的最终观察结果应⽤于所有三个案例时，为什么要把这个论证分成三个不同的案例呢？在这种情况下，最好将它们合⼆为⼀（同样利⽤当 $x = 2$ 或 $x = -2$ 时，其中⼀个因⼦为 $0$ 的知识）。再说⼀遍，使⽤这种扩展技术当然没有错。相反，它只是给证明增加了⼀些不必要的⻓度。

   我们在上⾯的段落中提到了术语“案例”和短语“案例分析”，但没有正确定义或解释我们的意思。现在，我们想推迟对这些术语的讨论，直到我们在第 4 章中彻底讨论逻辑。不过，如果您渴望⽴即解决这个问题，您可以跳到并查看“匈⽛利语朋友”问题，其中包含⼀些复杂的案例分析。

选择逻辑

1. 我们已经⾮常频繁地使⽤“逻辑”⼀词及其相关形式，但没有充分解释我们的意思。我们意识到这似乎违背了我们迄今为⽌⼀直⼤⼒倡导的精确性和清晰度，但我们也必须承认，不幸的是，提供逻辑的彻底定义是极其困难的。

2. 如果您正在寻找对逻辑的良好启发式理解，请尝试从“逻辑谜题”（如数独或数谜）的⻆度来思考它。这些谜题/游戏是围绕从⼀开始就建⽴和商定的⾮常具体的规则构建的，然后向解算者提供⼀个起始板，并期望以严格的⽅式应⽤这些规则，直到谜题得到解决。例如，在数独中，记住从 1 到 9 的每个数字必须在每⾏、每列和 3 × 3 框中恰好出现⼀次的条件，使得解算器能够系统地在⽹格中放置越来越多的数字，不断缩⼩⼤范围的范围。潜在“解决⽅案”的数量，以找到起始数字⽹格产⽣的唯⼀答案。这个解决过程的⼀个重要⽅⾯是，任何时候都没有必要（或明智地）每⼀步都应该在考虑到当前情况和谜题既定规则的情况下进⾏理性选择，并且在这个框架内，保证谜题是可以解决的（当然，要有⾜够的时间）。

3. 数学逻辑在某些⽅⾯略有不同，但本质是相同的：都有既定的游戏规则，每⼀步都应该以这些规则和当前知识为指导，除此之外别⽆其他。这就是我们说写数学证明应该受逻辑⽀配时的意思：从⼀个真理到另⼀个真理的每⼀步都应该遵循商定的规则，并且只参考这些规则或已经证明的事实。我们在证明（以及⼀般的数学中）中玩的“游戏”或“谜题”并不像数独谜题那么清晰。然⽽，更令⼈困惑的是，有时我们开始玩⼀场⽆法获胜的游戏，却没有意识到这⼀点！

4. 这种“⽆法获胜的游戏”的想法是 20 世纪奥地利逻辑学家、数学家库尔特·⼽德尔 (Kurt G¨odel) 的著作中得出的令⼈震惊、令⼈惊讶且⾮常有⼒的结论。他的不完备性定理解决了强逻辑系统的固有问题：可能存在在该系统内⽆法证明的真实陈述。我们⽆法在这⾥提供某些术语（即逻辑系统和可证明）的彻底详细的解释，但希望您看到这⾥发⽣了⼀些奇怪的事情。这怎么可能？如果数学中某件事是真的，我们就不能以某种⽅式证明它是真的吗？否则我们怎么知道这是真的呢？