⼀些数学史

2023-09-10 - by 布伦丹·W·沙利⽂与约翰·⻨基教授 - 标签：数学思考

⼀些数学史

为了开始解决这些⾃然问题，让我们回顾⼀下历史，讨论逻辑作为数学的⼀个成熟分⽀的起源。在整个讨论过程中要记住的⼀件事是，我们⽆法完全解决出现的每个主题，这可能会让⼈感到不满意，我们理解这⼀点。数学之美的部分原因在于，学习任何⼀个主题都会带来许多其他问题和概念需要思考，⽽这些问题和概念也可以通过更多的数学来解决。不过，背景很重要，就本书的背景⽽⾔，我们只是没有时间和空间来讨论所有这些与切线相关的主题。我们并不是试图向您隐瞒任何事情或掩盖某些问题；我们只是想向您隐瞒任何事情。
在您的数学职业⽣涯中，您可能会进⼀步研究我们下⾯提到的许多⼈（以及他们所做的⼯作）。那时，您将通过对材料的实践经验对主题有更深⼊的理解和欣赏，并且您将更有能⼒解决其中的问题。⽬前，我们只是出于兴趣⽽介绍这些⼈。数学有着丰富⽽有趣的历史，了解它会很有帮助！在这⾥，我们将尝试对逻辑（其历史、动机和意义）提出⼀种简洁⽽有意义的解释，以适应当前的背景。
19 世纪中后期的数学家和哲学家⾸先研究了后来演变成现代逻辑的思想，他们对以下我们在这⾥试图研究许多相同的问题感兴趣：我们如何知道某件事是真的？我们怎样才能表达这个真理呢？我们可以声明什么类型的“某事”为真或为假？这些数学家从根本上分解了数学语⾔，研究了如何以⾮常具体的⽅式组合⼀组固定的符号来创建更复杂的语句，但从总体上看，这些语句仍然相当简单。这并不是要打击他们的努⼒；毕竟，我们必须从某个地⽅开始，⽽这些⼈是从头开始⼯作的。
最初的主要努⼒之⼀是研究算术的基础，或者研究⾃然数（1、2、3、4……）。就像欧⼏⾥得试图通过建⽴⼀系列公认的真理或公理来研究⼏何，然后从这些给定的假设中推导出真理⼀样，意⼤利数学家朱塞佩·⽪亚诺为⾃然数建⽴了⼀套公理，⽽其他⼈则从稍微更深⼊的⻆度来探讨这个主题。不同的观点。与此同时，这种对真理的严谨和果断的新认识并证明这些真理导致⼤卫希尔伯特和其他⼈提出了欧⼏⾥得公理的⼀些问题，特别是平⾏假设。
这项关于⼏何和算术的⼯作⾃然导致了对数学其他领域的进⼀步、复杂的研究，并热切地尝试将实数分析等领域公理化。Karl Weierstrass在研究这个主题时，给出了⼀些具有奇怪性质的函数的令⼈兴奋的例⼦。例如，尝试定义⼀个在任何地⽅都不可微的连续函数。（如果您不熟悉微积分中的这些术语，请不要担⼼；可以说，这很困难。）最后，**理查德·戴德⾦（Richard Dedekind）**能够对实数建⽴严格的、逻辑的定义，该定义完全由来⾃⾃然数，⽽不是依赖于⼀些模糊的物理概念，即数字的连续体必须存在。
后来，这项研究稍微分⽀到对集合或对象集合的研究。Georg Cantor 在 19 世纪末为这⼀领域的⼤部分内容奠定了基础。他是第⼀个真正研究⽆限集理论的⼈，提出了⽆限有不同“⼤⼩”这⼀有争议的观点。也就是说，他证明了某些⽆限集严格⼤于其他⽆限集。这个想法在当时引起了很⼤的争议，以⾄于许多其他数学家都讨厌他！如今，我们意识到康托尔是对的。（这也让您了解我们稍后将讨论的内容。将此作为⼀个有趣的示例：奇数整数集和偶数整数集当然⼤⼩相同，但它们也相同 size 作为所有整数的集合。
事实上，⼀些数学家对康托尔的发现感到相当震惊，甚⾄伟⼤的伯恩哈德·黎曼也认为集合论的发展将成为数学的祸害（⽆论如何，⼀开始）。但事实并⾮如此，从那时起它就蓬勃发展，许多数学家致⼒于以正确的⽅式表示所有数学并理解数学的“基础”。在某种程度上，你可以将集合论视为对所有数学家正在研究的基本对象的研究，最终，其⽅式类似于所有化学都是通过适当组合来完成的。
元素周期表中的元素以越来越复杂的⽅式出现。这些主题的进⼀步发展是符号逻辑的研究。它⽐我们到⽬前为⽌提到的抽象概念更具体⼀些，我们将在本书的开头章节中经常研究其基本概念。该领域涵盖了如何将数学⽅程和符号与基于语⾔的符号和连接器结合起来，以做出有意义的数学陈述，并可以通过证明来确认这些陈述的真实性。总的来说，这是数学的⼀个极其重要的组成部分，尤其是本书。个⼈观点当然⽐这更加细致和具体，但总的来说，⼤多数数学家的⼼态是，有许多数学真理等待被发现，我们花时间学习我们已经发现的真理，希望揭露更多这些真相。这就像⼀个巨⼤的考古发掘，研究我们已经出⼟的⻣头和⽂物将帮助我们预测我们会发现什么类型的其他宝藏以及在哪⾥发现，这告诉我们到达那⾥后要去哪⾥寻找以及如何挖掘。在某种程度上，逻辑是从挖掘中⼀步⼀步抽象出来的过程：逻辑是对挖掘过程的研究。它告诉我们如何真正利⽤数学知识并从中学习，并将其与其他知识相结合，从⽽证明更多的真理。
现在，请注意，这不是一个精确的类比，抽象逻辑的研究远不止于此。复杂且错综复杂。不过，就我们的目的而言，在本书中，这是一个足够合理的思考逻辑的方式。我们将学习一些基本原理和基本操作符号逻辑并将这些知识应用到我们对写作证明的研究中。它将帮助我们真正了解证明是什么，它将有助于指导我们想要编写的证明的构建，它将允许我们批评可能不正确的证明，并最终帮助我们理解数学作为一个整体是如何运作的。
逻辑思想和结果的一个非常重要的应用是在发展和研究中计算机科学，特别是理论计算机科学和可计算性理论。这数学的特定分支最初是由大卫·希尔伯特（David Hilbert）之一推动的第二十三问题：这是当时数学界著名的未解决猜想列表他们于 1900 年出版。第十个问题涉及求解丢番图方程(Diophantine Equations)，该方程是以下形式的方程： $$a_1x_1^{p1} + a_2x_2^{p2} + a_3x_3^{p3} + · · · + a_nx_n^{pn} = c$$
其中 $a1, a2,..., an$ 和 $c$ 是固定的，给定常量 $p1,..., pn$ 是固定自然数，并且$x_1、x_2,..., x_n$ 是待确定的变量，以使方程成立。给定这样⼀个⽅程，⼈们可能想知道是否存在任何解，如果有，那么有多少个。此外，如果我们已知固定常数 ai 和 c 都是有理数。
我们能否确保存在⼀个所有变量 $x_i$ 也是有理数的解。关于这个特定问题已经建⽴了⼀些理论结果，但是希尔伯特的第⼗个问题，如 1900 年所述，询问是否存在“⼀个过程，根据该过程可以在有限数量的操作中确定它”是否存在给定的解决⽅案⽅程，其中所有变量 $x_i$ 都是有理数。他们当时并没有这个术语的正确概念或定义，但希尔伯特要求的是⼀种算法，该算法将接受常量 $ai$ 和 $c$ 的值，并根据是否存在来输出 True 或 False 具有所需属性的解决⽅案。他的问题的⼀个重要部分是，这个“过程”在输出答案之前需要执⾏有限数量的步骤。
英国剑桥⼤学的⼀位名叫艾伦·图灵的学⽣⼏年后开始研究这个问题，他设想有⼀台物理机器将执⾏输出所提出问题的答案所需的步骤。他随后的⼀些出版物描述了他的发明，我们现在称之为图灵机，这是⼀种有趣的理论设备，可以⽤来回答形式逻辑中的⼀些问题，但也代表了构建现代计算机的许多想法。我们说它是⼀个理论装置，因为它的定义的性质确保了它在物理上不可⾏，⽆法构建和操作，但它很好地处理了⼀些理论问题，包括前⾯提到的希尔伯特第⼗个问题。进⼀步来说，当我们说某件事是可计算的，或者能够在有限的步骤中确定时，这台机器为我们的意思提供了正确的定义，这有助于建⽴正确的算法概念。如果我们在讨论这些话题时不提及阿隆佐·丘奇（Alonzo Church），那是不公平的，因为他与图灵同时在研究类似的问题。他们的名字⼀起出现在丘奇-图灵论⽂中，该论⽂将图灵机的⼯作与更理论化、基于形式逻辑的可计算性概念联系起来。

我们将⽤逻辑做什么？

虽然集合论和逻辑中的所有这些主题本质上都很有趣并且对数学⾮常重要，但总的来说，我们根本没有⾜够的时间和空间来详细讨论它们。相反，让我们更多地关注我们将在编写和批评数学证明时使⽤的逻辑概念。
我们将考虑：（1）我们实际上可以陈述和证明什么类型的“事物”，（2）我们如何将我们知道的真实“事物”结合起来以产⽣更复杂的真理，以及（3）我们如何解释我们如何得出这些“事情”确实是真实的结论。由于缺乏更好的术语，我们说“事物”，因为我们还没有数学陈述的正式定义，⽽这实际上是我们将要证明的“事物”的类型。从本质上讲，数学陈述是来⾃数学和英语语⾔（⾄少在本书中）的符号和句⼦的组合，可以验证为真或假，但不能同时验证或两者都不是。那么，证明就相当于安排⼀系列使⽤真实数学陈述的步骤和解释以及将这些真理连接在⼀起的句⼦，并在最后产⽣特定陈述的所需真理。我们对逻辑的研究将解决如何组合这些步骤并保证我们的证明最终导致对真理的正确评估。
更具体地说，我们将研究数学陈述到底是什么，以及如何将它们组合起来产⽣更复杂的陈述。 “and”和“or”这两个词在这⾥特别重要，因为这两个词允许我们以新的、有意义的⽅式将两个数学陈述组合在⼀起。我们还将研究条件数学语句，即“如果 A，则 B”或“A 蕴含 B”形式的语句。这些确实是数学陈述的基础，⼤多数重要的数学定理都是这种形式。这些陈述涉及做出⼀些假设或假设（包含在陈述 A 中），并使⽤这些假设的事实得出结论（包含在陈述 B 中）。回顾⼀下勾股定理的陈述。并注意它是如何采⽤条件语句的形式的。（可以⽤另⼀种⽅式写吗？尝试以⾮条件形式写定理的陈述，并思考它是否是该形式的本质上不同的陈述。找到另⼀个著名的数学定理，它是条件陈述的形式，并且尝试进⾏相同的格式更改。）
数学中的另⼀个重要思想，也是在证明写作中经常出现的⼀个思想，是变量的概念。有时我们想笼统地讨论数学对象为其特定的值，这在之前的数学中经常论⼀种数学对象，⽽不为其分配特定的值，这是通过引⼊变量来实现的。你可能在之前的数学学习中经常看到这种情况发⽣，我们甚⾄在本书中已经做到了。再看看毕达哥拉斯定理陈述。字⺟ a、b、c 代表什么？好吧，我们没有明确说明，但我们知道这些是正实数，表示直⻆三⻆形三边的⻓度。什么三⻆形？我们没有提到具体的⼀个，也没有指出⼀张具体的图画或类似的东⻄，但你⼀直都知道我们在说什么。⽽且，我们检查的证明并不取决于这些值实际上是什么，⽽仅仅取决于它们是具有某些属性的正实数。这是⾮常有⽤和重要的，在某种程度上，它节省了时间，因为我们不必单独考虑宇宙中所有可能的直⻆三⻆形（其中有⽆限多个！）并且可以将整个想法简化为⼀个紧凑的陈述和证明。
我们可以对变量做的⼀件事就是量化它们。这涉及到声明某个陈述对于变量的任何潜在值或仅对于⼀个特定值是否正确。例如，在毕达哥拉斯定理中，对于任何正实数 a、b、c，我们不能声称 $a^2 + b^2 = c^2$；我们必须对变量施加额外的假设才能获得我们所做的结果。这是通⽤量化的⼀个例⼦：“对于所有具有这个属性和那个属性的数字 a、b、c，我们可以保证。。。” 同样，我们可以进⾏存在性量化：“存在⼀个具有此属性的数 n”。
你能想到我们迄今为⽌已经研究过的使⽤存在量化的定理/事实吗？再看⼀下证明，存在⽆理数 a 和 b 使得 ab 是有理数。请注意，我们证明的这个主张属于存在类型：我们声称存在两个具有所需属性的数字，然后我们继续证明确实必须存在这些数字。现在，这个证明的有趣之处在于它是⾮建设性的。也就是说，我们能够在不明确说明数字 a 和 b 实际是什么的情况下证明我们的主张。我们将其缩⼩到两个选择，但从未声称哪⼀个是正确的选择，只是其中⼀对必须有效。
作为对这些逻辑概念的预览，我们将在稍后详细研究数学细节，让我们举⼀些现实世界中基于语⾔的例⼦来说明这些想法。