什么是数学？

事实与证明：

1. 你怎么知道某件事是真是假？当然，例如，您已经被告知三⻆形的内⻆之和为 180°，但您如何确定呢？如果你遇到⼀个从未学过基础⼏何的外星⼈怎么办？你如何才能让他/她/它相信这个事实是真的？在某种程度上，这就是数学的全部内容：设计新的陈述，以某种⽅式确定它们是真是假，并向其他⼈（或外星⼈，视情况⽽定）解释这些发现。不幸的是，似乎很多⼈认为数学家每天都在把⼤数相乘；但事实上，与⼈们普遍认为的⽇益复杂的算术相⽐，数学是⼀⻔更具创造性和以写作为基础的学科。本书的⽬的之⼀就是让您相信这⼀事实，但这只是⼀个额外的好处。

2. 顺便说⼀句，您甚⾄可能想知道“某事为真意味着什么？” 对这个问题的全⾯讨论将深⼊探讨哲学、⼼理学，也许还涉及语⾔学，但我们并不想深⼊探讨这⼀点。然⽽，数学背景下的主要思想是，只有当我们能够证明某件事始终为真时，它才是真的。我们永远知道 1 + 1 = 2。⽆论是午夜还是中午，我们都可以放⼼，⽅程将成⽴。（但是你有没有想过如何证明这样⼀个事实？这实际上是相当困难的！⼀本叫做《数学原理》的书从“第⼀原理”开始做到这⼀点，作者花了很多很多⻚甚⾄达到 1 + 1 = 2！）这也许与其他科学有很⼤不同。如果我们进⾏ 10 次物理实验并且出现相同的结果，我们知道这总会发⽣吗？如果我们做⼀百万次实验会怎样？⼗亿？我们在什么时候真正证明了什么？在数学上，重复的实验并不是可⾏的证明！

3. 我们需要找到⼀个论据来说明为什么这种现象总是会发⽣。举个例⼦，数学中有⼀个著名的开放问题，称为哥德巴赫猜想。⽬前尚不清楚该猜想是否属实，尽管已经通过计算机模拟验证了该值⼤约$10^{18}$。这是⼀个巨⼤的数字，但仍不⾜以知道该猜想是否正确。或假。你看得到差别吗？我们数学家喜欢证明事实，检查⼀堆值但不是全部并不构成证明。

三⻆纠缠

1. 我们通过讨论我们希望证明完成什么以及为什么我们如此关⼼它们来介绍证明的概念。那么，您可能想知道如何定义证明。这实际上是⼀个很难解决的想法！为了实现这个想法，我们将提出⼏个不同的数学论证。我们希望您和他们⼀起阅读，并思考它们是否令⼈信服。他们证明了什么吗？它们正确吗？他们可以理解吗？他们给你什么感觉？您⾃⼰思考并提出⼀些意⻅，然后阅读我们的讨论。
2. 我们在这⾥提出的数学论证都是关于三⻆形的。具体来说，它们涉及毕达哥拉斯定理。
3. 定理（毕达哥拉斯定理）。如果直⻆三⻆形的底边⻓度为 a、b 和斜边⻓度为 c，则这些值满⾜ $a^2 + b^2 = c^2$。
4. 我们怎么知道呢？这是⼀个⾮常有⽤的事实，您可能在数学课上（以及在⽣活中，甚⾄没有意识到）多次使⽤过它。

事实与证据

1. 你有没有想过为什么这是真的？你会如何向持怀疑态度的朋友解释这⼀点？这就是数学证明试图实现的⽬标：对事实进⾏清晰⽽简洁的解释。需要证明背后的推理也很有意义，并且是双重的：知道我们认为是真的确实是真的，这让⼈松了⼀⼝⽓，⽽且不必每次都对事实进⾏解释，这很好。我们想使⽤它。在（令⼈满意地）证明了勾股定理之后，当出现相关情况时，我们只需要引⽤该定理的名称即可；我们已经证明过了，没有必要再证明⼀次。
2. 现在，证明到底是什么？我们如何知道解释⾜够清晰和简洁？⼀般来说，回答这个问题相当困难，这也是数学既被视为⼀⻔科学⼜被视为⼀⻔艺术的部分原因。是的，我们处理冷酷的事实，但能够⽤这些事实进⾏推理并向他⼈令⼈满意地解释它们本身就是⼀种艺术形式。
3. “证明”的示例
   • 1、让我们看⼀些示例“证明”，看看它们是否⼯作得⾜够好。（我们现在说“证明”，直到我们稍后给出更精确的定义。）这是第⼀个：
   • 2、“证明” 1.画⼀个边⻓为 a+b 的正⽅形。在这个正⽅形内，绘制直⻆三⻆形的四个副本，在较⼤的正⽅形内 形成⼀个边⻓为 $c$ 的正⽅形，其中满足：$a^2 + b^2 = c^2$。
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   • 3、较⼤正⽅形的⾯积可以通过两种⽅式计算：将⾯积公式应⽤于较⼤正⽅形，或将较⼩正⽅形的⾯积与四个三⻆形的⾯积相加。因此，这必定是真的：$(a+b)^2 = c^2 + 4 · \frac{ab}{2} = c^2 + 2ab$
   • 4、展开左边的表达式并取消两边的公共项，得到：$a^2 +2ab+ b^2 = c^2 + 2ab$
   • 5、因此，$a^2 + b^2 = c^2$ 成⽴。
   • 6、你确信吗？每⼀步都有意义吗？也许你还不确定，所以让我们看⼀下该定理的另⼀个“证明”。
4. “证明” 假设毕达哥拉斯定理为真，以直⻆对应的顶点的⾼画出直⻆三⻆形。如下图所示标记点和⻓度：
   • 
   • 1、由于毕达哥拉斯定理是正确的，我们可以将其应⽤于图中的所有三个直⻆三⻆形，即 ABC，BCD，ACD。 这告诉我们（定义 $e = c − d$）
   • • $a^2 = d^2 + f^2$
   • • $b^2 = f^2 + e^2$
   • • $c^2 = a^2 + b^2$
   • 2、将前两个⽅程相加并⽤第三个⽅程替换这个总和，我们得到：$c^2 = d^2 + e^2 + 2f^2$
   • 3、请注意，⻆ ∠ABC 和 ∠ACD 相等，因为它们都与⻆ ∠CAB 互补，因此我们知道三⻆形 ∠CDB 和 ∠ADC 是相似三⻆形。（我们现在假设对平⾯⼏何有⼀定的了解。）这告诉我们 $\frac{e}{f} = \frac{f}{d}$ ，因此 $f^2 = ed$。我们可以⽤它来替换该⾏中的 $f^2$。
   • 4、上⾯和因⼦，如下：$c^2 = d^2 + e^2 + 2de = (d+ e)^2$
   • 5、两边取平⽅根（并且知道 $c$、$d$、$e$ 都是正数）告诉我们 $c = d + e$，这根据⻓度 $d$ 和 $e$ 的定义是正确 的。因此，我们关于毕达哥拉斯定理为真的假设是有效的。
   • 6、这个证明呢？有说服⼒吗？清楚了吗？在我们决定什么构成“正确”或“良好”证明之前，让我们再检查⼀个 “证明”。
   • 7、再来看看，
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   • • 观察可知：$\frac{a}{c+b} = \frac{c-b}{a}$，因此 $a^2 + b^2 = c^2$。
   • 8、这对你来说有意义吗？最后，这是最后⼀个需要考虑的“证据”。
   • 9、证明毕达哥拉斯定理⼀定是真的，否则我的⽼师就⼀直在骗我。

最后

我们要知道数学证明远没有这么简单：

1. “证明”1 实际上是⼀个很好的证明。这四篇中，写得最清楚，逻辑也最正确的。我们现在可以将其作为证明。
2. “证明”2 是完全错误的，尽管它表述得多么清楚。
3. “证明”3 包含正确的想法，但没有明确表达。
4. “证明”4 离证明还很远，我们甚⾄不想讨论它。